Ещё как дают, решил обладатель румынского паспорта осесть, т.е. жить и работать, допустим в Эстонии, трудоустраивается, арендует или покупает жильё, получает статус ВНЖ, документ подтверждающий этот статус это ID карта, почти такая же как национальная эстонская , только с пометкой ROU. В дальнейшем человек может претендовать на гражданство Эстонии, выполнив общие требования для этого.
Думаю что в остальных странах Европы всё выглядит примерно так же.